Comprender los números grandes es posible, si sabes cómo

A menudo, en ciencia, así como en otros ámbitos, uno se topa con números grandes. Pero no números grandes como mil o un millón. Números muy grandes. Números enormes.

El problema de estos números, para la gente a la que le gusta entender las cosas y no solo recibir la información sin mayores pensamientos, es que son difíciles de imaginar. Porque nadie maneja números así de forma cotidiana. Nadie tiene una intuición clara de cuánto es esa cantidad. Dicho de otra forma, un número como 10¹⁰ (un “1” seguido de 10 ceros) es, sin duda, un número muy grande. Pero 10²⁰ (un “1” seguido de 20 ceros) también es muy grande. Y 10³⁰ también. Y ya está, ahí se pierde la intuición. A partir de 10¹⁰ (por decir algo) todo es muy grande. Sin embargo, 10³⁰ es muchísimo más grande que 10¹⁰, y convendría poder visualizar la diferencia, y no confundirlo con la misma “cantidad inmensa”. Hay cantidades inmensas, y las hay inmensamente inmensas. Vamos a ver cómo podemos diferenciarlas mejor.

La manera de entender los números grandes consiste en hacerlos pequeños, porque estos son los que podemos contar y visualizar fácilmente. Semejante acto de brujería no consiste en hacer trampas, sino simplemente algunas operaciones que nos pasen del número enorme a otro más manejable. Veamos con un ejemplo cómo funciona esto.

Un caso típico de número enorme es el número de Avogadro. Esto es el número de partículas (moléculas o átomos) que hay en un mol de sustancia. Por ejemplo, en un mol de agua (unas pocas cucharadas), tenemos 6,023 · 10²³ moléculas de H₂O. Este número es el número de Avogadro.

6,023 · 10²³ es un número gigantesco. ¿Pero cómo de gigantesco? Para resolver este problema, nos vamos a plantear otro. Queremos contar todas las moléculas. ¿Cuánto tiempo tardaríamos en lograrlo?

Como el número es muy grande, vamos a suponer que somos capaces de contar 1 millón de moléculas por segundo. Así, está claro que el número de segundos que necesitamos para contar todas las moléculas son 6,023 · 10²³ dividido entre 1 millón, con lo que habremos reducido el número inicial un millón de veces. Antes de hacer esta operación, conviene tener presente que lo que estamos haciendo es jugar con este número para tener una idea de lo que representa. Por tanto, no hace falta ir a por la calculadora ni consultar a un comité de expertos si el número de Avogadro es 6,023 o 6,022 por 10²³. Consideraremos que es simplemente 6 · 10²³, que dividido entre 1 000 000 (= 10⁶) da 6 · 10¹⁷ (un número con seis cifras menos —seis ceros menos—que el inicial). O sea que tardamos 6 · 10¹⁷ segundos en contar todas las moléculas. 

Este número no nos sirve aún, porque sigue siendo enorme. Pero no pasa nada, porque podemos mirar cuántas horas son esos segundos. 1 h = 3600 s, como queremos hacerlo fácil, dividiremos por 3000, en concreto, primero por 1000 y después por 3. Paso a paso:

(6 · 10¹⁷) : 1000 = 6 · 10¹⁴

(6 · 10¹⁴) : 3 = 2 · 10¹⁴ horas necesarias.

1 día son 24 horas, que son más o menos 20 horas: dividimos entre 10 y entre 2: obtenemos primero 2 · 10¹³ y finalmente 10¹³ días. Si ahora consideramos que un año son unos 400 días obtenemos  0,25 · 10¹¹ años. El número sigue siendo muy grande, pero aún podemos hacer más: dividiendo entre mil obtendremos los milenios que tardaremos en contar todas las moléculas: 

0,25 · 10⁸ = 25 · 10⁶ = 25 000 000

Ajá, esto sí que es interesante. Contar todas las partículas nos llevará, aproximadamente, 25 millones de milenios, a un ritmo de 1 millón de partículas por segundo. Recordemos que estas son las partículas que hay en el culo de un vaso de agua, no en el océano pacífico. Y aún así, ya vemos que aunque el primer ser humano de la Tierra hubiera empezado a contar las moléculas y siguiera vivo hoy en día, aún no habría contado ni la milésima parte del total. Con este ejemplo, vemos cómo el vago y poco interesante calificativo “muy grande” se concreta en una absoluta barbaridad.

En otro orden de cosas, y sin pretender convertir este blog en uno de política, hice uno de estos cálculos hace algún tiempo cuando leí que el periódico El País se planteaba realizar un ERE a unos 150 trabajadores. Esto fue en 2012. Ya sabemos la historia: crisis, la publicidad en los medios está muy mal, la prensa cada vez lo tiene más difícil, etc. Total, que hay que despedir a 150 trabajadores (no sé si este acabó siendo el número exacto, pero es lo de menos). Lo curioso del caso es que el presidente de El País (un tal Cebrián) cobró en 2011 trece millones de euros. Y yo me dije, vamos a ver si es verdad que necesita despedir a los 150 trabajadores.

13 millones de euros al año es mucho dinero, pero si hacemos las cifras más pequeñas siempre es más intuitivo: estamos hablando de aproximadamente 1 millón de euros al mes. Aquí ya vemos que este hombre cobra unas 1000 veces más que un trabajador típico (que cobraría unos 1000 euros). Dicho de otra forma, que cobra lo equivalente a lo que ganan 1000 trabajadores. Y dice que necesita despedir a 150. Yo lo que creo es que necesita bajarse el sueldo.

Pero he dicho que no me iba a meter en política. Sigamos reduciendo la cifra, para darnos cuenta de lo extraordinario que es su sueldo: 1 millón al mes son 250 000 euros a la semana, más o menos. Dividiendo entre 5 días laborables obtenemos unos 50 000 euros al día. Pero la cosa aún no acaba ahí. Si consideramos que trabaja 8 horas al día, entonces hay que repartir los 50 mil euros en esas 8 horas, de modo que podríamos decir que gana unos 6000 euros la hora. Como podemos ver, no se puede decir que la crisis afecte a todos por igual, ni que el ERE sea estrictamente necesario. Dinero, haberlo haylo. El problema es que lo tiene todo él. Seguramente no se habrá dado cuenta. Ya veis, pues, cuando se trata de grandes números, no os perdáis, razonad y comprended para daros cuenta de lo que estamos hablando.