Cómo resolver problemas algebraicos sin álgebra

Si la forma como multiplicaban y dividían los egipcios os pareció interesante, hoy vais a flipar. Sí, directamente. Sin Paños calientes. Quiero decir, sin paños calientes. Vamos a resolver un problema algebraico sin álgebra. Lo de multiplicar sin tablas era un calentamiento. Ahora viene lo bueno.

El problema dice así: “Un número (recíproco) excede a su recíproco en 11. ¿Qué números son?”

Que nadie se asuste, lo único que necesitamos saber es que números recíprocos son aquellos que multiplicados el uno por el otro dan 60. Por ejemplo, el 5 y el 12 son recíprocos, o el 6 y el 10. Como los babilonios usaban el sistema sexagesimal (base 60), los números recíprocos les interesaban, y esta clase de problemas era típico.

Hoy en día, lo resolveríamos trivialmente: x(x + 11) = 60, o si lo preferís, poco a poco:

   - Los números son recíprocos: x y = 60

   - Un número excede al otro en 11: x = y – 11 ,

que nos lleva a la ecuación que ya habíamos planteado. Desarrollándola, tenemos:

x² + 11x – 60 = 0.

Es una ecuación de segundo grado completa (con coeficiente de segundo grado, de primer grado y término independiente), poca broma. Y acabo de decir que no sabían álgebra los babilonios. Para resolverla, hoy, aplicamos una fórmula muy famosa que nos da las dos soluciones: 4 y 15.

¿Y qué hacían los babilonios? Pues seguían una receta:

1. Coja usted el exceso y divídalo entre 2: 11/2 = 5,5
2. Eleve el resultado al cuadrado: 5,5² = 30,25
3. Súmelo a 60: 60 + 30,25 = 90,25
4. Saque la raíz cuadrada: √90,25 = 9,5
5. Y ahora sume y reste al resultado anterior lo que ha obtenido en el apartado 1:     9,5 + 5,5 = 15                                                                                                                      9,5 – 5,5 = 4
6. ¡Brujería!

Os invito a probar el resultado con otros números. Siempre funciona.

¿Y de dónde sacaron esta receta los babilonios? He aquí una teoría.

Esos dos números recíprocos que estamos buscando, los podemos interpretar como los dos lados de un rectángulo de área 60. Sabemos que un lado es más largo que el otro en 11 unidades, podemos representarlo así:

Pongo las x únicamente para mostrar más claramente que el hecho de saber que un lado es 11 unidades más largo que el otro nos divide el rectángulo en un cuadrado y un rectángulo. Lo siguiente que nos piden es que dividamos el exceso por la mitad:

Ahora nos dicen que elevemos al cuadrado ese 5,5 que acabamos de obtener:

Lo siguiente es sumar 60 al resultado anterior, es decir, sumar el área del rectángulo inicial a la del cuadrado que acabamos de construir. Fijémonos que el pequeño rectángulo a la derecha de la línea verde encaja perfectamente a la izquierda del cuadrado de lado 5,5 (ya que los lados del rectángulo son x y 5,5).

De esta forma hemos construido un cuadrado con área total 90,25. Sacar la raíz cuadrada de este número equivale a averiguar el lado de este cuadrado grande:

Y se acabó el misterio. Mirando la figura vemos como, efectivamente, 9,5 - 5,5 nos da el lado corto de nuestro rectángulo original mientras que 9,5 + 5,5 es el lado largo. Como podéis ver es un método totalmente general, por eso funciona siempre (y por eso en mi dibujo el lado que vale 4 es más grande que el que vale 5,5, cosas que pasan cuando trabajas con valores desconocidos). En fin, puede que no haya para tanto, pero no puedo dejar de sorprenderme ante estas pequeñas maravillas matemáticas.