El teorema de Viviani, o cómo llegar a la playa

Hoy os propongo un pequeño problema. Yo soy un rico aburrido que no sabe en qué gastar su dinero. Como no tengo nada mejor que hacer, me decido a comprar una de esas bellas islas del Pacífico. Pero no es una isla cualquiera. Como soy un poco excéntrico, elijo una isla con forma de triángulo equilátero, porque siempre me ha gustado la geometría y así además puedo fardar ante los colegas, que tienen esas islas amorfas (con forma de patatoide, que diría un físico, aunque la RAE no se lo permita).

Una vez adquirida la joya voy a ver qué tal es. Quedo maravillado por las playas y me planteo una cuestión. La isla no es enorme, pero tenía pensado construirme una mansión en primera línea de mar. ¡Ah!, pero, indeciso de mí, las tres playas que tengo son hermosísimas y soy incapaz de decidir por una. Finalmente elijo una al azar y mando construir la casa al lado de esa. Más tarde, sin embargo, pienso que lo más práctico sería ir alternando las playas, ir a todas ellas por igual, y no solo abusar de una. Asombrado por mi estupidez me doy cuenta de que lo más fácil sería construir tres mansiones, una en cada playa. Sin embargo, mi padre me dice que las acciones están bajando y que no puedo hacer tres mansiones, que la isla no es tan grande. Como mucho una mansión y dos casitas. No obstante, esa falta de simetría me horroriza, y al final decido que lo mejor será hacer la mansión en el centro de la isla.

Todo esto se lo comento a mi secretario, con el que me llevo muy bien, para que haga las gestiones oportunas. Mi secretario, sin embargo, me dice que si lo que quiero es estar a la misma distancia de las tres playas, entonces no hay duda, debo poner mi casa en el centro. Ahora bien, me hace notar que si en realidad lo que quiero es estar el máximo posible de cerca de las tres playas, sin importar que algunas queden más lejos que otras, es decir, hacer mínima la suma de las distancias de casa a cada playa, quizás lo más conveniente sea dejar la casa en primera línea de mar, o ponerla en un vértice, con dos playas justo al lado.

Sorprendido por esta vertiente inesperada del problema, le pido a mi secretario que no escatime en gastos para resolver esta cuestión. Que llame a un matemático si hace falta, porque, efectivamente, lo que quiero es que la suma de los paseos de casa a cada playa sea lo mínimo posible, aunque pueda haber alguna playa más alejada que las otras.

Mi secretario me dice que no es para tanto, que no es más que un problema de optimización: encontrar el lugar óptimo de la casa. Me dice que él ha hecho problemas de estos en bachillerato, pero que no sabría cómo resolver este ahora mismo. Le pido pues que haga lo que sea necesario para resolverlo. Tendré una isla geométrica con una casa optimizada, más no se puede pedir.

Y ese es el problema. Un problema que los ricos del siglo XVII ya podrían haber resuelto. La solución la ofrece el teorema de Viviani: dado un punto en el interior de un triángulo equilátero, la suma de las distancias de este punto a cada uno de los lados (l + m + n) es igual a la altura del triángulo (h). Así que da igual donde ponga la mansión: la suma de las distancias desde ella hasta cada playa es siempre la misma, concretamente, la altura del triángulo.

Isla triangular y mansión puntual con las distancias clave indicadas. Con la tecnología de Paint.

La demostración es sencillísima: es evidente que el área del triángulo equilátero es igual a la suma de las áreas de los tres triángulos de colores. Recordemos que el área de un triángulo se calcula como el producto de la base por la altura dividido entre 2. Por tanto, si el lado del triánguo equilátero mide s:
$$\frac{sh}{2} = \frac{sl}{2} + \frac{sm}{2} + \frac{sn}{2}$$ $$h = l +m +n ,$$ que es lo que queríamos demostrar.